1963 metais baigęs studijas Lietuvos muzikos akademijoje, 1964-1968 A.Budrys stažavo Sankt Peterburgo konservatorijoje prof. V.Genslerio ir prof. Karsavino klarneto klasėse, vėliau - dar metus Paryžiuje pas garsųjį klarnetistą J.Lancelot. 1958 -1978 m.m. - Lietuvos nacionalinio simfoninio orkestro solistas koncertmeisteris, 1964-1989 m.m. - Lietuvos nacionalinės filharmonijos pučiamųjų kvinteto vadovas, 1986-1989 m.m. - Lietuvos nacionalinės filharmonijos meno vadovas ir direktorius, nuo 1992 m. - pučiamųjų orkestro "Trimitas" meno vadovas.

Nuo 1963 m. - Lietuvos muzikos akademijos pedagogas, 1972- 1975 m.m. - Kairo nacionalinės konservatorijos profesorius – ekspertas, nuo 1976 m. - Lietuvos muzikos akademijos Pučiamųjų instrumentų katedros vedėjas, nuo 1985 m. - profesorius.

Klarnetininkas profesorius Algirdas Budrys - žymus Lietuvos kultūros ir meno veikėjas, nusipelnęs pedagogas, talentingas atlikėjas, nenuilstantis šiuolaikinės lietuvių bei užsienio kompozitorių kūrybos propaguotojas, pasaulyje pripažintas klarneto virtuozas. Už nuopelnus Lietuvos kultūrai ir menui profesorius Algirdas Budrys 1999 m. apdovanotas Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Gedimino 4-ojo laipsnio ordinu, jam paskirta Lietuvos Respublikos Vyriausybės meno premija.